ENSEMBLES (THÉORIE DES)

ENSEMBLES (THÉORIE DES)
ENSEMBLES (THÉORIE DES)

TOUTE pensée formalisée s’exprime de nos jours dans le langage de la théorie des ensembles, qui a ainsi envahi toutes les disciplines, sciences humaines comprises. Dès l’école primaire, l’enfant apprend à classer des objets suivant leur forme, leur couleur, leur taille, à établir entre eux des correspondances, préambules à des manipulations plus abstraites.

La théorie élémentaire des ensembles, dont le vocabulaire est exposé dans le premier des deux articles suivants, fait partie du bagage culturel minimal de l’homme contemporain.

Mais la théorie des ensembles est aussi une branche de la logique mathématique [cf. LOGIQUE MATHÉMATIQUE], élaborée au début du siècle, et dont il existe plusieurs théories axiomatisées (cf. théorie axiomatique des ENSEMBLES).

Mentionnons enfin que les mathématiciens, pour rendre compte de propriétés très générales des structures, ont construit la théorie des catégories [cf. CATÉGORIES ET FONCTEURS] qui manipule des classes d’objets qui ne sont plus nécessairement des ensembles, comme la catégorie des ensembles (cf. infra , Paradoxe de Russell, in Calcul booléen ), la catégorie des groupes, etc.

Les règles générales de la logique d’Aristote ont été, depuis le Moyen Âge, l’objet de recherches visant à dégager un «langage universel» commun à la logique formelle et à l’algèbre. C’est Leibniz qui formule le premier la demande, sous-jacente chez Raymond Lulle, d’un «alphabet des pensées humaines» permettant de réduire à un algorithme symbolique le raisonnement déductif.

Pour Leibniz, sa «caractéristique universelle» est un langage formalisé, pure combinaison de signes, dont les théorèmes ou les propositions se déduiraient de manière purement mécanique (calculus ratiocinator ). En ce sens, il est le précurseur de la théorie élémentaire des ensembles.

Inédits et inconnus jusqu’au début du XIXe siècle, les travaux de Leibniz sont repris par les logiciens de l’école anglaise. C’est G. Boole qui est le véritable créateur du calcul direct sur les parties d’un ensemble. A. de Morgan (1858), W. S. Jevons (1864) et C. S. Pierce (1867) abordent l’étude des relations sur un ensemble.

En 1890, E. Schröder, dans un ouvrage monumental, fait la synthèse des travaux de ses devanciers. À la fin du XIXe siècle, les recherches de Frege et de Peano s’articulent avec les problèmes des fondements des mathématiques.

Encyclopédie Universelle. 2012.

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